Matematik på liv och död

Kan en oändlighet vara större än en annan? Frågan har gett forskare psykiska sammanbrott.

Detta är andra delen i artikelserien Matematikens skönheter. Läs första delen här.

Det finns grader i helvetet, brukar man säga. Men hur är det med oändligheten? Finns det gradskillnader även där? Kan en oändlighet vara större än en annan?

När man är ung funderar man ibland över vilket som är det största talet – men man inser snabbt att det inte finns något sådant. Vilket tal man än väljer  … tusen miljoner miljarders biljoner  … så kan man alltid lägga till ett och få ett tal som är lite större. Och så kan man fortsätta i all evighet. Antalet heltal är oändligt många.

Men är denna oändlighet den största, eller finns det något som är större än det? En av de skarpaste matematikerna någonsin, Georg Cantor (1845–1918), ägnade sig åt denna fråga. Vad kom han fram till?

Cantor lyckades visa att mängden av alla irrationella tal är större än mängden av alla heltal. Resultatet är på sätt och vis chockerande.

I min förra artikel diskuterade jag de rationella talen, alltså de som kan skrivas som en kvot mellan två heltal, till exempel 3/5 eller 7/13, samt de irrationella talen, det vill säga de tal som inte kan skrivas så. Det handlar till exempel om roten ur 2, pi, och så vidare. Det var de irrationella talen som fick pythagoréernas grundvalar att skaka.

På samma sätt som det finns oändligt många heltal, så finns det oändligt många irrationella tal. Men Cantor lyckades visa att mängden av alla irrationella tal är större än mängden av alla heltal. Resultatet är på sätt och vis chockerande. Vi har sålunda en oändlighet som är större än den »vanliga« oändligheten (mängden av alla heltal).

Georg Cantor.

Cantor visade detta genom ett trick som i matematiken är väldigt vanligt. Man antar först att en hypotes är sann, och sedan tillämpar man oantastliga logiska principer, som alla är överens om, och om man sedan hamnar i en motsägelse, något som inte är sant, ja då vet man att den hypotes man startade med inte är korrekt. På latin kallas det reductio ad absurdum.

Så Cantor började med att anta att det går att skriva en lista med alla positiva heltal och sedan en med alla irrationella tal, och att det går att sätta dem i en ett-till-ett korrespondens med varandra. Det betyder att man parar ihop varje tal i listan med heltal med ett tal från listan av irrationella tal, så att vi får en (oändlig) sekvens av par. Om dessa listor av tal, på sina respektive sidor, fyller upp alla heltal och alla irrationella tal kan man säga att listorna är lika »stora«.

Men Cantor visar att den tänkta listan med alla irrationella tal (som parats ihop med de positiva heltalen) inte kan innehålla alla irrationella tal. För att visa det skriver han upp ett nytt irrationellt tal genom att ta första siffran i det första irrationella talet och adderar ett. Den andra siffran i det nya talet tar han från det andra talets andra siffra och adderar återigen ett. Han skapar alltså det nya talet genom att plocka siffror diagonalt från den ursprungliga listan av irrationella tal och adderar ett till varje siffra längs diagonalen. På så sätt skapar han ett nytt irrationellt tal som ej fanns i listan från början (eftersom han genom att addera ett har ändrat en siffra i varje tal som fanns i ursprungslistan).

Sålunda var det ursprungliga antagandet att alla irrationella tal var med på listan felaktigt. Det visar sig alltså att det inte går att ordna ett heltal till varje irrationellt tal och sålunda måste man se mängden av de irrationella talen som fler. Beviset kallas för Cantors diagonaliseringsförfarande.

Man brukar säga att heltalen (och faktiskt också de rationella talen), är uppräkningsbara eller »listbara«: dessa klasser av tal är därmed lika stora. Det finns vidare till exempel inte fler heltal än alla jämna tal. Men de irrationella talen är inte uppräkningsbara. De spelar alltså i en egen liga.

Jag vill ge en illustration till hur mycket större den ena oändligheten är jämfört med den andra. Tänk att du har en oändligt spetsig penna. Ja, den är så spetsig att sätter du ner den mellan noll och ett på en rät linje så träffar du bara ett enda tal. Sådana pennor finns inte så klart, men det går att tänka sig dem.

Hur stor är då sannolikheten att du sätter ner den på ett rationellt tal, vilket som helst? Minns nu att det faktiskt finns oändligt många sådana tal mellan noll och ett. Ja, du kan faktiskt ta vilket par av ­rationella tal som helst, som ligger hur nära varandra som helst, och det kommer ändå finnas oändligt många rationella tal mellan dem. Så tätt ligger de nämligen på tallinjen! Det är i sig ganska imponerande.

Men sannolikheten att man träffar på ett rationellt tal med vår spetsiga penna är ändå noll. Det finns nämligen så många gånger fler irrationella tal att de rationella fullständigt drunknar i dem. Puh – man bara tar sig för pannan när man tänker på det.

Men inte nog med det. Cantor kom snabbt att inse att det fanns fler klasser av oändligheter efter det, en som är större än alla de irrationella, en som till och med är större än det och så vidare. Dessa oändligheter fick vidare olika namn. Därefter uppställdes den så kallade kontinuumhypotesen och Cantor kom att ägna en stor del av sitt liv åt detta problem.

Vid en stor matematikerkonferens i Paris år 1900 presenterade den tyske matematikern David Hilbert (1862–1943), en annan av världshistoriens riktigt stora matematiker, en lista över vad han såg som de viktigaste matematiska problemen som fanns kvar att lösa. Kontinuumhypotesen var det första av dessa.

Frågan lyder: om vi kallar mängden av alla heltal för Alef 0, (efter den första bokstaven i det hebreiska alfabetet), och mängden av alla irrationella tal för Alef 1, finns det då någon klass av oändligheter där emellan?

Cantors hypotes – kontinuumhypotesen – var att det inte fanns en sådan klass. Han var vid flera tillfällen övertygad om att ha bevisat detta resultat. Han skickade in flera artiklar till olika tidskrifter, men hittade i slutändan alltid invändningar mot sina egna resultat.

Cantors forskning kring den här frågan blev honom till slut övermäktig. Hans sinne hettades upp så till den grad att han blev febrig. Ett otal gånger sänkte man ner honom i badkar för att kyla ner honom. Oändligheten blev för stor för honom och upprepade gånger togs han in på psykiatriska kliniker för att försöka skänka honom ro, för att få någon slags distans till problemet.

Cantor hann lämna jordelivet utan att ha funnit en lösning på problemet. Det kom att dröja ända till 1940 innan Kurt Gödel (1906–1978) visade att kontinuumhypotesen kunde vara sann – alltså att den inte strider mot de grundläggande axiomen inom mängdläran. Sedan dröjde det till 1960-talet, då Paul Cohen (1934–2007) visade att det också var förenligt med de grundläggande axiomen att kontinuumhypotesen var falskt. Oups!

Kontinuumhypotesen kan alltså vara sann men den kan också vara falsk. Frågan går inte avgöra med matematikens grundläggande byggstenar. Resultatet är vidunderligt, ja så märkligt att man har svårt att greppa det. Inte undra på att Cantor blev tokig.

Vad betyder det ens att hävda att det inte är avgörbart? Jo, mer precist kan man säga att de axiom som bygger upp matematiken inte är tillräckliga för att dra slutsatsen att det är antingen sant eller falskt. Det här är kopplat till Gödels ofullständighetsteorem från 1931 (Gödel var bara 25 år när han publicerade detta resultat). Matematiska utsagor kan alltså vara sanna – utan att de går att bevisa. Det väcker djupa frågor om matematikens natur.

Är man intresserad av att gräva sig lite djupare ner i dessa historier, både personliga och det matematiska, så rekommenderas varmt Amir Aczels The Mystery of the Aleph – Mathematics, the Kabbalah and the Search for Infinity. En riktigt spännande och läsvärd bok.

***

Text: Christian Azar

Toppbild: JEREMY THOMAS/UNSPLASH.COM, WIKIMEDIA COMMONS